PHYSICS-5: ANÁLISIS VECTORIAL

Vectores

Un vector es un segmento de recta dirigido que permite representar y analizar magnitudes vectoriales.

Para representar las propiedades físicas del Universo, la ciencia se vale de dos tipos de magnitudes: las escalares, que se determinan totalmente por un número, un signo y una unidad de medida; y las vectoriales, que además de una unidad de medida, requieren de módulo, dirección, sentido y un punto de aplicación.

Elementos de un vector

• Módulo |V|: cantidad escalar que representa la intensidad de la magnitud vectorial. La longitud del vector es equivalente al módulo.

• Dirección: es la recta que contiene al vector.

• Sentido: es la orientación del vector, indicada por la flecha del vector.

Representación matemática

En el plano cartesiano, se representa matemáticamente un vector A, con un par ordenado (a_x; a_y). Los elementos del par ordenado se llaman componentes rectangulares del vector.

a_x: componente en la dirección del eje x, su valor absoluto |a| indica la longitud de la proyección del vector A sobre el eje X. El signo de a_x indica si el vector está orientado en la dirección positiva o negativa del eje X. De igual manera sucede con a_y, componente en la dirección del eje Y.

8 VIDEOS/ACTIVIDADES:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-basic/v/introduction-to-vectors-and-scalars

Ejemplo: El vector V=(3;─4), este mide 3 unidades en el eje X y 4 unidades en el eje Y. está orientado en la dirección positiva del eje X, y en la negativa del Y.

Las componentes de un vector indican la medida de su proyección sobre cada eje y en qué sentido se orienta.

En el gráfico, la longitud del vector coincide con la hipotenusa de un triángulo, y los catetos miden el valor absoluto de cada componente rectangular. Entonces, partiendo del teorema de Pitágoras podemos deducir:

4 VIDEOS/ACTIVIDADES:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/magnitude-vectors/v/example-calcuating-magnitude-of-vector-from-graph

OPERACIONES CON VECTORES

Al realizar operaciones con vectores se genera un vector resultante R con un efecto equivalente al de todos los vectores involucrados en la operación.

MÉTODOS GRÁFICOS

Los métodos gráficos permiten operar con los vectores gráficamente.

• Con los métodos gráficos se puede hallar el vector resultante de una suma de vectores o de multiplicación de un escalar por un vector.

• En estos métodos, los vectores deben dibujarse con una longitud proporcional a su módulo, respetando la dirección y el sentido que indican.

• Si el vector está multiplicado por un escalar k, se debe dibujar con longitud proporcional a k veces su módulo.

• Si el escalar es negativo, se debe invertir el sentido del vector.

1. Suma de vectores por el Método del polígono

• Se grafica uno de los vectores.

• Se grafican a continuación los siguientes vectores, uno por uno, siempre a partir del extremo del vector anterior.

• Obtenemos el vector resultante R, uniendo el punto de origen del vector inicial con el extremo del último vector graficado.

2. Suma de dos vectores por el Método del paralelogramo

• Graficar los dos vectores, partiendo del mismo punto de origen.

• Trazar paralelas desde el extremo de cada vector, graficando de esta manera un paralelogramo.

• El vector resultante R se obtiene partiendo del punto de origen a la intersección de las líneas paralelas trazadas.

Observación 1: La diferencia de los vectores V₁ menos V₂ equivale a la suma de V₁ y –V₂. Luego, para aplicar los métodos gráficos a la diferencia de dos vectores, debes multiplicar el vector que restarás por el escalar -1. Ejemplo:

Observación 2: Para emplear este método los vectores deben tener direcciones diferentes (solo se puede hallar la resultante de dos vectores a la vez).

Para hallar la resultante de más de dos vectores, primero se debe encontrar la resultante de dos vectores, y luego sumar al resultado otro de los vectores y así sucesivamente, con los demás vectores.

Para hallar el vector R = X + Y + Z, primero hallamos S = X + Y

y luego R =S + Z.

Ejemplo 1

Por medio de los métodos del polígono y del paralelogramo, hallar la resultante R de:

2A+3B-3/2C, si A, B y C son los vectores mostrados:

En los métodos gráficos se dibuja cada vector sumando de modo proporcional a su longitud, y a continuación efectuar las multiplicaciones escalares respectivas:

Hallamos la resultante R = 2A + 3B + (-3/2C) por el método del polígono graficando un vector a continuación del otro:

Si utilizamos el método del paralelogramo, realizamos la primera suma:

2. MÉTODO ANALÍTICO

En este método, utilizaremos la representación matemática del vector mediante componentes.

4 VIDEOS/ACTIVIDADES:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/scalar-multiplication/v/understanding-multiplying-vectors-by-scalars

6 VIDEOS/ACTIVIDADES:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-addition-subtraction/v/adding-and-subtracting-vectors

Descomposición de vectores

La magnitud de las componentes rectangulares de un vector, corresponden a las proyecciones del vector sobre cada eje cartesiano, y su signo lo determina el sentido del vector. Al dibujar un vector partiendo del origen se cumplirá lo siguiente: